1聖マリアンナ医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle x\ge\frac12$ ならば $2x-1\ge0$ である。また $x>0$ かつ $$x^2-(2x-1)=(x-1)^2\ge0$$ より $x\ge\sqrt{2x-1}$ だから、$a,b$ は実数である。さらに $$ab=\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})(x-\sqrt{2x-1})} =\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|, \qquad a^2+b^2=2x.$$ $a,b\ge0$ より $$a+b=\sqrt{a^2+b^2+2ab} =\sqrt{2x+2|x-1|}.$$ したがって $\text{ア}=2$。$\displaystyle \frac12\le x\le1$ ではこの値は $\sqrt2$ なので $\sqrt{2022}$ にならない。$x\ge1$ では $$a+b=\sqrt{4x-2}=\sqrt{2022} \quad\text{すなわち}\quad 4x-2=2022 \quad\text{すなわち}\quad x=506.$$ よって $\text{イ}=506$。

(2) 感染を $A$、陽性判定を $+$ とする。条件付き確率の分子と分母は $$P(A\cap +)=0.7p,\qquad P(+)=0.7p+0.1(1-p)=0.1+0.6p$$ である。したがって $$\displaystyle P(A\mid +)=\frac{0.7p}{0.1+0.6p}=\frac{7p}{1+6p}.$$ よって $\text{ウ}=7,\ \text{エ}=6$。これが $0.5$ となる条件は $$\displaystyle \frac{7p}{1+6p}=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad 14p=1+6p \quad\text{すなわち}\quad p=\frac18,$$ ゆえに $\displaystyle \text{オ}=\frac18$ である。

(3) 整数部分が5である条件は、真数を $X$ として $10^5\le X<10^6$ である。 $$10^5\le10x^2<10^6 \quad\text{すなわち}\quad 10^4\le x^2<10^5.$$ 従って $100\le x<100\sqrt{10}=316.2$ だから最大の自然数は $316$（$316^2=99856<100000<317^2$）。よって $\text{カ}=316$。

一方、 $$10^5\le5x^2<10^6 \quad\text{すなわち}\quad 20000\le x^2<200000.$$ 下端は $x\ge\sqrt{20000}=100\sqrt2=141.4$ を意味するから、最小の自然数は $142$ である（$141^2=19881<20000\le142^2=20164$）。上側の条件も $142^2<200000$ を満たす。よって $\text{キ}=142$。