2聖マリアンナ医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) 座標から $$\displaystyle \overrightarrow{AB}=(a,-a,0),\qquad \overrightarrow{OC}=\left(\frac12,\frac12,1\right).$$ 内積は $a/2-a/2=0$。$a\ne0$ より $\overrightarrow{AB}\ne\vec0$ であり、$\overrightarrow{OC}\ne\vec0$ でもあるから両ベクトルは垂直である。指定された範囲の角は $\displaystyle \theta=\frac\pi2$、したがって $\displaystyle \text{ク}=\frac\pi2$。

(2) $$|\overrightarrow{AB}|^2=a^2+(-a)^2=2a^2.$$ また $\displaystyle \overrightarrow{AC}=(\frac12,-\frac32,1)$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac a2+\frac{3a}{2}=2a.$$ よって $\text{ケ}=2,\ \text{コ}=2$。

(3) 2つのベクトル $u,v$ がつくる三角形の面積を $K$ とすると、$v$ の $u$ 方向成分と垂直な成分をピタゴラスの定理で分けて $$\displaystyle K^2=\frac14\bigl(|u|^2|v|^2-(u\cdot v)^2\bigr)$$ となる。まず $\overrightarrow{OB}=(a,2-a,0)$ について $$\displaystyle |\overrightarrow{OB}|^2=2a^2-4a+4,\quad |\overrightarrow{OC}|^2=\frac32,\quad \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=1.$$ 従って $$\displaystyle [\triangle OBC]^2 =\frac14\left(\frac32(2a^2-4a+4)-1\right) =\frac{3a^2-6a+5}{4}.$$ 一方、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ に対して $$\displaystyle |\overrightarrow{AB}|^2=2a^2,\quad |\overrightarrow{AC}|^2=\frac72,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2a$$ だから $$\displaystyle [\triangle ABC]^2 =\frac14\left(2a^2\cdot\frac72-(2a)^2\right) =\frac{3a^2}{4}.$$ 面積は非負なので面積が等しいことはこれらの平方が等しいことと同値であり、 $$\displaystyle 3a^2-6a+5=3a^2\quad\text{すなわち}\quad a=\frac56.$$ 従って $\displaystyle \text{サ}=\frac56$。これは0でないので条件にも合う。

(4) 直線AB上の点と直線OC上の点をそれぞれ $$P=A+t(1,-1,0)=(t,2-t,0),\qquad Q=s(1,1,2)=(s,s,2s)$$ とおく。$\displaystyle t=1,s=\frac13$ のとき $$\displaystyle P-Q=w_0=\left(\frac23,\frac23,-\frac23\right).$$ 方向ベクトル $d=(1,-1,0), e=(1,1,2)$ に対して $w_0\cdot d=w_0\cdot e=0$。任意の $t,s$ では $$\displaystyle P-Q=w_0+(t-1)d-(s-\tfrac13)e$$ であり、後ろの2項の和は $w_0$ と垂直だから $$\displaystyle |P-Q|^2=|w_0|^2+|(t-1)d-(s-\tfrac13)e|^2\ge |w_0|^2=\frac43.$$ 等号は $\displaystyle t=1,s=\frac13$ で実現する。従って最小距離は $\displaystyle \frac2{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}$、ゆえに $\displaystyle \text{シ}=\frac2{\sqrt3}$。