4大阪医科薬科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

〔4〕

$u=\cos\theta$, $v=\sin\theta$ とおくと、$M=(u/2,v/2)$ である。

agraph{(1)} $$\displaystyle \overrightarrow{MA}=\left(\frac u2,-\frac v2\right).$$ 反時計回りの $90^\circ$ 回転 $(s,t)\mapsto(-t,s)$ を施すと $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{MB}=\left(\frac v2,\frac u2\right)}.$$

agraph{(2)} $B=M+\overrightarrow{MB}$ であり、対角線の中点は共通なので $D=M-\overrightarrow{MB}$。よって $$\displaystyle \boxed{B=\left(\frac{u+v}{2},\frac{u+v}{2}\right)},\qquad \boxed{D=\left(\frac{u-v}{2},\frac{v-u}{2}\right)}.$$ ここで $u=\cos\theta,v=\sin\theta$ である。

agraph{(3)} 対角線の長さは $$|AC|=\sqrt{u^2+v^2}=1.$$ したがって正方形の中心 $M$ から各頂点までの距離は $1/2$ であり、正方形全体は中心 $M$、半径 $1/2$ の円内にある。また $|OM|=\sqrt{u^2+v^2}/2=1/2$。正方形内の任意の点 $X$ に対し三角不等式から $$\displaystyle |OX|\le |OM|+|MX|\le\frac12+\frac12=1.$$ 全ての $\theta$ について成り立つので $$\boxed{W\subseteq\{(x,y):x^2+y^2\le1\}}.$$

agraph{(4)} $\theta=0$ の正方形は $|x-1/2|+|y|\le1/2$、$\theta=\pi/2$ の正方形は $|x|+|y-1/2|\le1/2$ と表される。第1象限の三角形 $$\Delta=\{(x,y):x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1\}$$ を考える。$x\ge y$ の部分では、第1の正方形について、$x\le1/2$ なら $|x-1/2|+y=1/2-x+y\le1/2$、$x\ge1/2$ なら $|x-1/2|+y=x-1/2+y\le1/2$。よってこの部分は第1の正方形に含まれる。$y\ge x$ の部分は同様に第2の正方形に含まれる。したがって $\Delta\subset W$。 座標表示から、原点中心の回転 $R(x,y)=(-y,x)$ は $$R(A_\theta)=C_{\theta+\pi/2},\quad R(B_\theta)=D_{\theta+\pi/2},\quad R(C_\theta)=A_{\theta+\pi/2},\quad R(D_\theta)=B_{\theta+\pi/2}.$$ を満たす。従って $W$ はこの回転で不変であり、$\Delta$ を4回転した菱形 $$|x|+|y|\le1$$ 全体が $W$ に含まれる。この菱形の対角線の長さはともに2だから面積は2。よって $$\boxed{S\ge2}.$$

agraph{検算} $\theta=0,\pi/2$ の各正方形は上記の菱形型不等式と4頂点から直接一致する。全ての正方形は半径1の円内にある一方、$W$ は面積2の単位菱形を含む。