2京都府立医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$B=(1,0)$ となるように座標軸をとり，必要なら平面を反転して $\displaystyle A=(\frac12,h)\ (h>0)$ とおく。内積の条件より $\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac12$ だから，この座標で $OA=a$ と合わせると $$\displaystyle a^2=\frac14+h^2,\qquad h=\sqrt{a^2-\frac14}.$$ $\triangle OAB$ が存在するには $h>0$ である。

円 $C$ の中心は，接線 $OB$ に垂直で $O$ を通る直線上にある。中心を $(0,c)$ とすると，円が $A$ を通ることから $$\displaystyle \left(\frac12\right)^2+(h-c)^2=c^2, \qquad c=\frac{a^2}{2h}.$$ したがって円 $C$ の方程式は $x^2+y^2-2cy=0$ である。辺 $AB$ 上の点を $$\displaystyle P(t)=A+t(B-A)=\left(\frac{1+t}{2},h(1-t)\right)\qquad(0\le t\le1)$$ と表す。これを円の方程式に代入すると $$\displaystyle x^2+y^2-2cy=t\left(a^2t+\frac34-h^2\right).$$ $t=0$ は $A$ に対応するから，もう一つの交点に対応する値は $$\displaystyle t=\frac{h^2-\frac34}{a^2}=\frac{a^2-1}{a^2}.$$ これが $A,B$ と異なる辺 $AB$ 上の点を与える条件は $0<t<1$ である。ここで $\displaystyle t=1-\frac1{a^2}<1$ なので，条件は $a^2>1$，すなわち $a>1$ となる。逆に $a>1$ ならこの $t$ は $0<t<1$ を満たし，求める点 $D$ が確かに存在する。よって $$\boxed{a>1}.$$

このとき $$\displaystyle D=P(t)=\left(1-\frac{1}{2a^2},\frac{h}{a^2}\right),$$ よって $$\displaystyle OD^2=\left(1-\frac{1}{2a^2}\right)^2+\frac{h^2}{a^4} =1-\frac1{a^2}+\frac{\frac14+h^2}{a^4}=1.$$ 長さは正なので $\boxed{OD=1}$。また $AB=a$ より $$\displaystyle AD=ta=\frac{a^2-1}{a},\qquad BD=(1-t)a=\frac1a.$$

$D$ は辺 $AB$ 上にあるので，面積について $$\displaystyle [OAB]=\frac h2,\qquad [OBD]=\frac12\cdot OB\cdot\frac{h}{a^2}=\frac{h}{2a^2},$$ したがって $$\displaystyle [OAD]=[OAB]-[OBD]=\frac h2\left(1-\frac1{a^2}\right).$$ 各三角形の内接円の半径は「面積を半周長で割った値」であるから，$s_1,s_2$ をそれぞれ $\triangle OAD,\triangle OBD$ の半周長として $$\displaystyle s_1=\frac12\left(a+1+\frac{a^2-1}{a}\right),\qquad s_2=\frac12\left(1+1+\frac1a\right)$$ とおけば， $$\displaystyle r_1=\frac{[OAD]}{s_1} =\frac{(a-1)h}{a(2a-1)},\qquad r_2=\frac{[OBD]}{s_2} =\frac{h}{a(2a+1)}.$$ $\displaystyle h=\sqrt{a^2-\frac14}$ を戻して $$\displaystyle \boxed{r_1=\frac{(a-1)\sqrt{a^2-\frac14}}{a(2a-1)},\qquad r_2=\frac{\sqrt{a^2-\frac14}}{a(2a+1)}}.$$

積を整理すると，定義域 $a>1$ で $$\displaystyle r_1r_2=\frac{(a-1)(a^2-\frac14)}{a^2(2a-1)(2a+1)}=\frac{a-1}{4a^2}.$$ さらに $$\displaystyle \frac1{16}-r_1r_2 =\frac{a^2-4a+4}{16a^2} =\frac{(a-2)^2}{16a^2}\ge0.$$ 等号は $a=2$ のとき，かつそのときに限る。したがって積は $a=2$ で最大となる。

最後に $a=2$ とする。このとき $$\displaystyle OD=1,\quad AD=\frac32,\quad BD=\frac12, \quad s_1=\frac94,\quad s_2=\frac54.$$ 三角形 $OAD$ の内接円が辺 $OD$ に接する点を $T_1$ とすると，頂点 $O$ からその接点までの長さは，二辺から円に引いた接線の長さが等しいことより $$\displaystyle OT_1=s_1-AD=\frac94-\frac32=\frac34.$$ 同様に，$\triangle OBD$ の内接円の辺 $OD$ との接点を $T_2$ とすると $$\displaystyle OT_2=s_2-BD=\frac54-\frac12=\frac34.$$ したがって $T_1=T_2=:T$ である（$OD=1$ なので，$O$ から距離 $\displaystyle \frac34$ の点は一つ）。二つの三角形は共通辺 $OD$ の反対側にあるから，それぞれの内心は $T$ を通る $OD$ の垂線上で反対側にあり，内心から $T$ までの距離は各円の半径である。よって内心間の距離は $r_1+r_2$ となり，二円は点 $T$ で外接する。