4京都府立医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

正 $2n$ 角形の頂点から異なる3点を選ぶ方法はすべて同様に確からしく、その総数は $\displaystyle \binom{2n}{3}$ である。選んだ3頂点を時計回りに $A,B,C$ とし、$A$ から $B$、$B$ から $C$、$C$ から $A$ までの辺の数をそれぞれ $a,b,c$ とする。このとき $a,b,c$ は正の整数で、$a+b+c=2n$ である。正 $2n$ 角形の1辺に対する中心角は $\pi/n$ だから、円周角の定理より、$A,B,C$ の角はそれぞれ $\displaystyle \frac{b\pi}{2n},\frac{c\pi}{2n},\frac{a\pi}{2n}$ となる。したがって、三角形が鋭角である条件は $a,b,c<n$ であり、いずれかの間隔が $n$ なら直角、$n$ を超えれば鈍角である。

(1) $n=3$ のとき、頂点の総数は $\displaystyle \binom63=20$ である。直角三角形は、対角線のうち直径となるものを選び、その両端以外の4頂点から第3頂点を選べば得られる。直径は3本あり、直角三角形の斜辺は一意なので、その個数は $3\cdot4=12$ 個である。また、鋭角三角形では $a,b,c$ は3未満の正整数で和が6だから、$(a,b,c)=(2,2,2)$ に限る。この間隔の並びについて始点を6頂点から選ぶと各三角形をその3頂点のそれぞれから数えるので、鋭角三角形は $6/3=2$ 個である。よって $p_3=12/20=3/5,\ q_3=2/20=1/10$ である。

(2) 一般の $n$ でも、直角三角形の斜辺は正 $2n$ 角形の直径である。直径は $n$ 本あり、それぞれに対して残りの $2n-2$ 頂点のいずれを第3頂点に選んでも直角三角形となる。1つの三角形が二度数えられることはない（直角は高々1つ）から、直角三角形の個数は $n(2n-2)$ 個である。したがって $$\displaystyle p_n=\frac{n(2n-2)}{\binom{2n}{3}}=\frac{n(2n-2)}{(2n)(2n-1)(2n-2)/6}=\frac{3}{2n-1}.$$

(3) 鋭角三角形では $1\leq a,b,c\leq n-1$ かつ $a+b+c=2n$ である。そこで $x=n-a,\ y=n-b,\ z=n-c$ とおくと、これは正整数 $x,y,z$ が $x+y+z=n$ を満たすことと同値である。正整数3個の和が $n$ となる組 $(x,y,z)$ の個数は、$n$ 個を並べた間の $n-1$ 個の隙間から2か所を仕切りに選ぶので $\displaystyle \binom{n-1}{2}$ 個である（$n=2$ のときは0個）。よって、鋭角となる順序付き間隔の組は $\displaystyle \binom{n-1}{2}$ 通りある。始点の頂点を $2n$ 通りに選ぶと各三角形は始点を3頂点のどれにするかによりちょうど3回数えられるため、鋭角三角形の個数は $\displaystyle \frac{2n}{3}\binom{n-1}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ 個である。したがって $$\displaystyle q_n=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}3}{\binom{2n}{3}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}3}{\frac{2n(n-1)(2n-1)}3}=\frac{n-2}{2(2n-1)}.$$

(4) 以上より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}q_n=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{1-2/n}{4-2/n}=\frac14.$$