自治医科大学 2011年数学第21問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第21問

円周を12等分し，各点を $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L$ と表記する。3つの点を同時に選び，三角形をつくるとき，その三角形が直角二等辺三角形となる確率を $p$ とする。 $55p$ の値を求めよ。ただし，得られた三角形の頂点のアルファベット記号が1つでも異なれば，別の三角形とみなすものとする。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

全三角形を組合せで数え、斜辺が直径となる場合から直角二等辺三角形を数えた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3 (タ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

三角形の総数は、12点から3点を選ぶ組合せの数なので $\displaystyle \binom{12}{3}=220$ 。円周上の三角形が直角となるには、その直角の対辺が直径でなければならない。直径の両端となる点の組は6組ある。各直径の両端から等距離にある円周上の点は、その直径に対して円周を4等分する位置の2点であり、それぞれを第3頂点に選ぶと直角二等辺三角形となる。したがって該当する三角形は $6\cdot2=12$ 個である。各直角三角形は斜辺となる直径が一意なので重複はない。よって $\displaystyle p=\frac{12}{220}=\frac{3}{55},\qquad55p=3$ となり、答えは $3$ （タ）である。

この問題で使う考え方

円の性質
組合せ
確率の基本法則

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