自治医科大学 2011年数学第2問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第2問

$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ ， $\displaystyle y=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき， $x^{2}+y^{2}-62$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

共役な式を掛けてx,yを簡単な形に直し、和と積から平方和を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア (0)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

分母について、 $\sqrt{5}+\sqrt{3}>0$ かつ $\sqrt{5}-\sqrt{3}>0$ なので、いずれも0ではない。分子・分母にそれぞれ共役な式を掛けると、 $\displaystyle x=\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}{5-3}=4-\sqrt{15},\qquad y=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}{5-3}=4+\sqrt{15}.$ したがって $x+y=8$ 、 $xy=(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15})=16-15=1$ である。よって、平方和の公式から $x^{2}+y^{2}-62=(x+y)^{2}-2xy-62=8^{2}-2\cdot1-62=0.$ 選択肢では $0$ に対応する記号はアである。

この問題で使う考え方

実数と無理数

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