13自治医科大学 2011年 数学 第13問解答・解説

二次方程式が重解をもつ条件は判別式が $0$ となることである。ここで $s=a+b$ とおくと、判別式より $$\{-2(1-s)\}^{2}-4\{1+s^{2}\}\cdot 2=0$$ となる。両辺を $4$ で割って整理すると、$$(1-s)^{2}-2(1+s^{2})=0\quad\text{すなわち}\quad (s+1)^{2}=0$$ だから $s=-1$ である。$a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$ を用いると、求める値は $$3ab-(a^{3}+b^{3})=3ab-s^{3}+3abs=-s^{3}+3ab(1+s)=1$$ となる。したがって答えは $1$（カ）である。