15自治医科大学 2011年 数学 第15問解答・解説

円の中心を $(u,v)$、半径を $r$ とする。2点 $(1,4),(2,5)$ までの距離が等しいので、$$(u-1)^2+(v-4)^2=(u-2)^2+(v-5)^2$$ となり、整理して $u+v=6$ を得る。また、円が $y$ 軸に接するから半径は中心から $y$ 軸までの距離であり、$r=|u|$、したがって $r^2=u^2$ である。$v=6-u$ を点 $(1,4)$ までの距離の式に代入すると、$$u^2=(u-1)^2+(2-u)^2=2u^2-6u+5$$ より $u^2-6u+5=0$、すなわち $u=1,5$。対応する半径は $1,5$ なので、求める積は $ab=1\cdot5=5$。したがって答えは $5$（ハ）である。