自治医科大学 2011年数学第12問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第12問

関数 $y=2\cos\theta-\sin^{2}\theta+2$ （ $0\leq\theta<2\pi$ ）の最大値を $M$ ，最小値を $m$ とする。 $Mm$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

三角恒等式で平方完成した形に直し、cosθの値域と端点で最大・最小を確かめる。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア (0)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ を用いて $y=2\cos\theta-(1-\cos^{2}\theta)+2=(\cos\theta+1)^{2}$ と変形する。 $-1\leq\cos\theta\leq1$ より $0\leq\cos\theta+1\leq2$ なので、 $0\leq y\leq4$ 。 $\theta=\pi$ で $y=0$ 、 $\theta=0$ で $y=4$ となり、どちらも指定範囲に含まれる。よって $m=0$ 、 $M=4$ であり、 $Mm=4\cdot0=0.$ 選択肢では $0$ に対応する記号はアである。

この問題で使う考え方

三角関数の相互関係
三角関数の周期・グラフ

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