3自治医科大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$x>0$ より、$\displaystyle t=x^{\frac14}>0$ とおく。このとき $t+t^{-1}=3$ であり、求める式は$$\displaystyle \frac{47}{2}\cdot\frac{t^{3}+t^{-3}}{t^{4}+t^{-4}}$$となる。$(t+t^{-1})^{3}=t^{3}+t^{-3}+3(t+t^{-1})$ より$$t^{3}+t^{-3}=3^{3}-3\cdot3=18.$$また、$(t+t^{-1})^{2}=t^{2}+t^{-2}+2$ なので $t^{2}+t^{-2}=9-2=7$。したがって$$t^{4}+t^{-4}=(t^{2}+t^{-2})^{2}-2=7^{2}-2=47.$$以上から、求める値は$$\displaystyle \frac{47}{2}\cdot\frac{18}{47}=9.$$選択肢では $9$ に対応する記号はワである。