自治医科大学 2011年数学第18問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第18問

同一直線上に，それぞれ異なる3つの点 $A(k+2,5), B(6,5-2k), C(5,3)$ が存在するとき， $k$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

座標を差し引いて得た2ベクトルの成分が比例する条件からkを求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

2 (サ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

3点から $C(5,3)$ を引いた2つのベクトルは $\overrightarrow{CA}=(k-3,2),\qquad \overrightarrow{CB}=(1,2-2k)$ である。3点が一直線上にある条件は、これらのベクトルが平行になることだから、 $(k-3)(2-2k)-2=0$ である。左辺を整理すると $-2(k-2)^2=0$ となり、 $k=2$ 。このとき $A=(4,5),B=(6,1),C=(5,3)$ で互いに異なるので、条件を満たす。したがって答えは $2$ （サ）である。

この問題で使う考え方

直線の方程式

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