23自治医科大学 2011年 数学 第23問解答・解説

水平線 $y=k$ が曲線 $y=f(x)$ に接する点では接線の傾きが $0$ だから、$$f\prime(x)=6x^2-18x-60=6(x+2)(x-5)=0$$ より接点の $x$ 座標は $-2,5$ である。関数値は $$f(-2)=208,\qquad f(5)=-135$$。したがって接する水平線の高さは $-135,208$ であり、$a<b$ より $a=-135,b=208$。実際に $$\displaystyle f(x)-208=2(x+2)^2\left(x-\frac{17}{2}\right),\qquad f(x)+135=2(x-5)^2\left(x+\frac{11}{2}\right)$$ なので、それぞれ接点とは異なる交点も1つずつある。求める値は $$\displaystyle \left|\frac{b}{16}+\frac{a}{27}\right|=\left|\frac{208}{16}-\frac{135}{27}\right|=|13-5|=8$$ である。答えは $8$（ラ）。