自治医科大学 2011年数学第25問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第25問

放物線 $y=-x^{2}+2x-1$ と直線 $y=-x-1$ とで囲まれる領域の面積を $S$ とする。 $2S$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

交点間で関数の差の符号を確認し、定積分で囲まれた面積を求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

9 (ワ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

放物線と直線の交点は $-x^2+2x-1=-x-1\quad\text{すなわち}\quad x(3-x)=0$ より $x=0,3$ である。区間 $0\leq x\leq3$ では放物線と直線の差が $-x^2+2x-1-(-x-1)=x(3-x)\geq0$ なので、面積は $\displaystyle S=\int_0^3 x(3-x)\,dx=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac92$ 。したがって $2S=9$ 、答えは $9$ （ワ）である。

この問題で使う考え方

定積分
定積分による面積

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