自治医科大学 2011年数学第17問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第17問

2つの円 $C_{1}:x^{2}+y^{2}-24x-10y+44=0,\qquad C_{2}:x^{2}+y^{2}-4x+10y+4=0$ について考える。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の相異なる2つの交点を $P,Q$ とする。線分 $PQ$ の長さを $L$ としたとき， $\displaystyle \frac{L^{2}}{10}$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

2円の差から共通弦の直線を求め、円の中心から弦までの距離で弦長を出した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

5 (ハ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

2円の式を引くと、交点 $P,Q$ はともに $x+y=2$ 上にある。第1の円は $(x-12)^2+(y-5)^2=125$ と書けるので、その中心 $(12,5)$ から直線 $x+y-2=0$ までの距離は $\displaystyle d=\frac{|12+5-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{15}{\sqrt2}$ である。中心から弦 $PQ$ に下ろした垂線は弦を二等分する。半弦の長さを $h$ とすると、直角三角形より $\displaystyle h^2=125-d^2=125-\frac{225}{2}=\frac{25}{2}$ だから $L^2=(2h)^2=4h^2=50$ 。したがって $\displaystyle \frac{L^2}{10}=5$ 、答えは $5$ （ハ）である。

この問題で使う考え方

円の方程式
座標による距離

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