7自治医科大学 2011年 数学 第7問解答・解説

$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおく。恒等式 $s^{2}+c^{2}=1$ と条件から$$\displaystyle (s-c)^{2}=\frac{2}{9}=s^{2}+c^{2}-2sc=1-2sc$$なので、$\displaystyle sc=\frac{7}{18}$ である。したがって$$\displaystyle (s+c)^{2}=s^{2}+c^{2}+2sc=1+\frac{7}{9}=\frac{16}{9}.$$$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi2$ より $s,c\geq0$ だから $s+c\geq0$、よって $\displaystyle s+c=\frac43$。求める値は$$\displaystyle 6(\sin\theta+\cos\theta)=6\cdot\frac43=8.$$検算として、条件の和と差から $\displaystyle s=\frac{4+\sqrt2}{6}$、$\displaystyle c=\frac{4-\sqrt2}{6}$ となり、両者は正で、$s^{2}+c^{2}=1$ を満たす。選択肢では $8$ に対応する記号はラである。