自治医科大学 2011年数学第8問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第8問

三角形 $ABC$ において，辺 $BC$ を $a$ ，辺 $AC$ を $b$ ，辺 $AB$ を $c$ とする。 $\displaystyle b=2, c=3, \angle A=\frac{\pi}{3}$ のとき， $a^{2}$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

角Aをはさむ辺b,cから余弦定理を用いて対辺aを計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ヤ (7)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

角 $A$ をはさむ2辺は $AB=c=3$ 、 $AC=b=2$ であり、その対辺は $BC=a$ である。余弦定理より $\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A =2^{2}+3^{2}-2\cdot2\cdot3\cdot\cos\frac\pi3 =4+9-12\cdot\frac12=7.$ 検算すると、 $a=\sqrt7$ は $1=|3-2|<\sqrt7<5=3+2$ を満たし、余弦定理から得る角の余弦は $\displaystyle \frac{3^{2}+2^{2}-7}{2\cdot3\cdot2}=\frac12=\cos\frac\pi3$ である。選択肢では $7$ に対応する記号はヤである。

この問題で使う考え方

余弦定理

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