3山口大学 2010年 数学 第3問解答・解説

放物線上の点 $(t,t^2)$ における接線は $$y-t^2=2t(x-t),\qquad y=2tx-t^2$$ である。2接線の交点では $2ap-a^2=2bp-b^2$。$a<b$ より $$\displaystyle p=\frac{a+b}{2},\qquad q=ab.$$

$d=b-a>0$ とおくと、余弦定理に使う辺の長さは $$\displaystyle AP=d\sqrt{a^2+\frac14},\quad BP=d\sqrt{b^2+\frac14},\quad AB=d\sqrt{1+(a+b)^2}.$$ したがって $$\displaystyle \cos\angle APB =-\frac{ab+\frac14}{\sqrt{(a^2+\frac14)(b^2+\frac14)}}.$$ 角が $\pi/4$ なので $\displaystyle q=ab<-\frac14$。余弦の式を2乗し $a+b=2p,\ ab=q$ を用いると $$\displaystyle 2\left(q+\frac14\right)^2 =q^2+p^2-\frac q2+\frac1{16}, \qquad \left(q+\frac34\right)^2=p^2+\frac12.$$ $\displaystyle q<-\frac14$ から $\displaystyle q+\frac34<\frac12$ であり、$\sqrt{p^2+1/2}>1/2$ だから $$\displaystyle q=-\frac34-\sqrt{p^2+\frac12}.$$ 逆に任意の実数 $p$ に対してこの $q$ は $\displaystyle q<-\frac14$ を満たす。$a=p-\sqrt{p^2-q}$、$b=p+\sqrt{p^2-q}$ とすれば $a<b,\ a+b=2p,\ ab=q$。上の等式から角の余弦の二乗は $1/2$、また $\displaystyle q<-\frac14$ により余弦は正なので、角は $\pi/4$。よって軌跡全体である。

$a\le x\le p$ では上側の境界はAでの接線、$p\le x\le b$ ではBでの接線である。放物線と各接線との差はそれぞれ $(x-a)^2,(x-b)^2$ なので、 $$\displaystyle S=\int_a^p(x-a)^2\,dx+\int_p^b(x-b)^2\,dx =\frac{(b-a)^3}{12} =\frac23(p^2-q)^{3/2}.$$ さらに $\displaystyle p^2-q=(q+\frac14)^2$ で $\displaystyle q<-\frac14$ だから $$\displaystyle S=-\frac23\left(q+\frac14\right)^3 =-\frac{(4q+1)^3}{96}.$$