自治医科大学 2011年数学第14問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第14問

円 $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$ と $x$ 軸との交点を $A,B$ とし， $y$ 軸との交点を $C,D$ とする。線分 $AB$ の長さを $a$ ，線分 $CD$ の長さを $b$ とするとき， $\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{10}$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

円の方程式を各座標軸に代入し、交点間の距離を求めてから指定式に代入した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

2 (サ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

円の式に $y=0$ を代入すると $x^2+4x-12=0$ 、すなわち $(x+6)(x-2)=0$ だから、 $x$ 軸との交点の座標は $(-6,0),(2,0)$ である。したがって $a=8$ 。一方、 $x=0$ を代入すると $y^2-6y-12=0$ となり、その解は $y=3\pm\sqrt{21}$ である。よって $b=2\sqrt{21}$ 。以上から $\displaystyle \frac{b^2-a^2}{10}=\frac{(2\sqrt{21})^2-8^2}{10}=\frac{84-64}{10}=2$ となる。したがって答えは $2$ （サ）である。

この問題で使う考え方

円の方程式
座標による距離

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