自治医科大学 2011年数学第22問解答・解説

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1問題

自治医科大学2011年度第22問

関数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ （ $a,b,c$ は実数）は， $x=-1$ で極大値13をとり， $x=1$ で極小値 $p$ をとるものとする。 $p$ の値を求めよ。　設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを一つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ。　選択肢：ア=0，カ=1，サ=2，タ=3，ナ=4，ハ=5，マ=6，ヤ=7，ラ=8，ワ=9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

極値をとる位置を導関数の根として係数を定め、与えられた極大値から定数項を求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

9 (ワ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$x=-1,1$ で極値をとるので、導関数 $f\prime(x)=3x^2+2ax+b$ は $-1,1$ を根にもつ。最高次の係数が $3$ であることから $f\prime(x)=3(x+1)(x-1)=3x^2-3$ となり、 $a=0,b=-3$ 。また $f(-1)=13$ より $-1+a-b+c=13\quad\text{より}\quad c=11$ である。したがって $f(1)=1+a+b+c=1-3+11=9$ 。実際に $f\prime(x)=3(x^2-1)$ は $-1$ の前後で正から負、 $1$ の前後で負から正に変わるので、指定された極大・極小と一致する。よって $p=9$ 、答えは $9$ （ワ）である。

この問題で使う考え方

多項式の導関数
極大・極小
導関数と増減

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