5自治医科大学 2011年 数学 第5問解答・解説

$t=3^{x}$ とおく。指数法則から、$$\displaystyle y=-9(3^{x})^{2}+27\cdot3^{x}+2=-9t^{2}+27t+2 =-9\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{89}{4}.$$したがって、常に $\displaystyle y\leq\frac{89}{4}$ である。等号は $\displaystyle t=\frac32$ のときに成り立つ。底が $3>1$ なので、$\displaystyle x=\log_{3}\frac32$ は $\displaystyle 3^{0}=1<\frac32<27=3^{3}$ より $0<x<3$ を満たし、与えられた範囲内でこの値をとる。よって$$\displaystyle M=\frac{89}{4},\qquad \frac{89}{M}=\frac{89}{89/4}=4.$$選択肢では $4$ に対応する記号はナである。