9奈良県立医科大学 2015年 数学 第9問解答・解説

$$\displaystyle t=\frac{5}{1+3e^{-2x}}$$ とおく。任意の実数 $x$ について $e^{-2x}>0$ なので、$1+3e^{-2x}>1$ であり、$0<t<5$ である。さらに、$\displaystyle t=\frac12$ となる実数 $x$ があるかを調べると $$\displaystyle \frac{5}{1+3e^{-2x}}=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad 10=1+3e^{-2x} \quad\text{すなわち}\quad e^{-2x}=3,$$ となり、実際に $\displaystyle x=-\frac12\log 3$ で成立する（$\log$ は自然対数）。

このとき $$\displaystyle f(x)=t^2-t+1=\left(t-\frac12\right)^2+\frac34\geq\frac34.$$ 等号は $\displaystyle t=\frac12$ のときに限って成立し、その値は上で求めた実数 $x$ で実現する。したがって、その $x$ で $f(x)$ は最小となる。

最終結果・使用解法

$$\displaystyle \boxed{x=-\frac12\log 3}$$ 置換後の二次式を平方完成し、下限を達成する条件を解いた。