7奈良県立医科大学 2015年 数学 第7問解答・解説

図形は、下から順に横の単位正方形が $7,6,5,4,3,2,1$ 個並んだ階段状の図形である。すべての辺は水平または垂直なので、図形の線分を辺とする長方形は格子線に沿うものだけである。

底辺を $y=0$、一番上の水平格子線を $y=7$ とする。長方形の上辺を $y=j$（$1\le j\le7$）に固定すると、その直下の段の幅は $8-j$。したがって左右の縦辺を選ぶ方法は $$\displaystyle \binom{(8-j)+1}{2}=\binom{9-j}{2}$$ 通りある。また下辺は $y=0,1,\ldots,j-1$ のいずれかで、$j$ 通り。よって長方形の総数は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{7} j\binom{9-j}{2} =28+42+45+40+30+18+7 =\boxed{210}.$$