15奈良県立医科大学 2015年 数学 第15問解答・解説

Q15　回転体の体積

解答

求める体積は $$\displaystyle V=\frac{\pi^2+3\sqrt3\,\pi}{8}$$ である。

図形の位置関係と場合分け

まず交点は $$\displaystyle \cos x-\cos2x=2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}$$ より、指定範囲では $\displaystyle x=0,\frac{2\pi}{3}$ である。$\displaystyle 0<x<\frac{2\pi}{3}$ では右辺が正なので、上側の曲線は $y=\cos x$、下側は $y=\cos2x$ である。

$x$ 軸との交点は、範囲内で $\cos2x=0$ が $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$、$\cos x=0$ が $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ である。両曲線が $x$ 軸の反対側にある区間では、回転断面は半径の大きい方を半径とする円板になる。その半径の切り替わりは $$\displaystyle \cos x=-\cos2x \quad\text{すなわち}\quad 2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$ から $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ である。したがって断面積 $S(x)$ は次の通り。 $$\displaystyle S(x)= \begin{cases} \pi(\cos^2x-\cos^22x),&0\le x\le\frac{\pi}{4},\\[2mm] \pi\cos^2x,&\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{3},\\[2mm] \pi\cos^22x,&\frac{\pi}{3}\le x\le\frac{\pi}{2},\\[2mm] \pi(\cos^22x-\cos^2x),&\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{2\pi}{3}. \end{cases}$$ 最初と最後の区間は両曲線が $x$ 軸の同じ側にあるので円環、それ以外の区間は図形が $x$ 軸をまたぐか接するので円板である。

積分計算

$$\displaystyle V=\int_0^{2\pi/3}S(x)\,dx$$ である。公式 $$\displaystyle \int\cos^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}, \qquad \int\cos^22x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin4x}{8}$$ を用いると、各区間の積分値は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}(\cos^2x-\cos^22x)\,dx &=\left[\frac{\sin2x}{4}-\frac{\sin4x}{8}\right]_0^{\pi/4} =\frac14,\\ \int_{\pi/4}^{\pi/3}\cos^2x\,dx &=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/3} =\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac14,\\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos^22x\,dx &=\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin4x}{8}\right]_{\pi/3}^{\pi/2} =\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{16},\\ \int_{\pi/2}^{2\pi/3}(\cos^22x-\cos^2x)\,dx &=\left[\frac{\sin4x}{8}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{\pi/2}^{2\pi/3} =\frac{3\sqrt3}{16}. \end{aligned}$$ これらを足すと $$\displaystyle \frac14+\left(\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac14\right) +\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{16}\right) +\frac{3\sqrt3}{16} =\frac{\pi}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}.$$ よって $$\displaystyle V=\pi\left(\frac{\pi}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}\right) =\frac{\pi^2+3\sqrt3\,\pi}{8}.$$

定義域・場合分けの確認

積分区間は設問の $\displaystyle 0\le x\le\frac{2\pi}{3}$ である。この範囲での曲線交点と $x$ 軸との交点を上記の通り分けた。両曲線が同符号の区間では外半径の二乗から内半径の二乗を引き、異符号で図形が軸をまたぐ区間では大きい絶対値の二乗を用いたので、各断面積を重複なく積分している。

使用解法

三角関数の加法定理、回転体の断面積（円板・円環）、定積分。