6東北大学 2016年 数学 第6問解答・解説

被積分関数の符号を調べるため $$\displaystyle g_x(t)=\sin(t-x)-\sin2t=-2\sin\frac{t+x}{2}\cos\frac{3t-x}{2}$$ と変形する。$0<t<\pi$ では $0<(t+x)/2<\pi$ なので前の正弦は正である。$r=(\pi+x)/3$ とおくと、$t<r$ では $-\pi/2<(3t-x)/2<\pi/2$、$t>r$ では $\pi/2<(3t-x)/2<3\pi/2$ である。したがって $g_x(t)<0$ は $0<t<r$ で、$g_x(t)>0$ は $r<t<\pi$ である（端点での零は積分に影響しない）。

$$\displaystyle G_x(t)=-\cos(t-x)+\frac12\cos2t$$ を $g_x(t)$ の原始関数とすると $$\displaystyle f(x)=-\int_0^r g_x(t)\,dt+\int_r^\pi g_x(t)\,dt =G_x(0)+G_x(\pi)-2G_x(r).$$ ここで $G_x(0)+G_x(\pi)=1$ より $$f(x)=1+2\cos(r-x)-\cos2r.$$ $u=(\pi-2x)/3$ とおくと $r-x=u$、$2r=\pi-u$ だから $$\displaystyle f(x)=1+2\cos u-\cos(\pi-u)=1+3\cos u, \qquad -\frac\pi3\le u\le\frac\pi3.$$ この範囲で $\cos u$ の最大値は $1$（$u=0$）、最小値は $1/2$（$u=\pm\pi/3$）である。$u=0$ は $x=\pi/2$、$u=\pm\pi/3$ は $x=0,\pi$ に対応する。よって $f$ の最大値は $4$、最小値は $5/2$ である。