5東北大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$\phi=\angle POQ$ とおく。三角形 $POQ$ に余弦定理を用いると、$$\displaystyle \cos\phi=\frac{OP^2+OQ^2-PQ^2}{2\,OP\,OQ}=\frac{3+4-1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ よって $\displaystyle \phi=\frac{\pi}{6}$、$\displaystyle \sin\phi=\frac{1}{2}$ である。　 直線 $m,n$ はともに $l$ に垂直なので、$P,O,Q$ は $l$ に垂直な平面内にある。この平面内で、$Q$ と平面 $\alpha$ の距離は $OQ\sin\phi=1$、$P$ と平面 $\beta$ の距離は $\displaystyle OP\sin\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。線分 $PQ$ 上で $PT=t$、$PQ=1$ だから、球の中心 $T$ と各平面との距離は $$\displaystyle d_{\alpha}=t,\qquad d_{\beta}=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-t),\qquad 0\leq t\leq1.$$ 半径 $\sqrt{2}$ の球を、中心から距離 $d$ の平面で切った円の面積は $\pi(2-d^2)$ である。したがって、$$S_{\alpha}=\pi(2-t^2).$$ また $$\displaystyle \begin{aligned}f(t)&=\pi\left(2-t^2+2-\frac{3}{4}(1-t)^2\right)\\&=\pi\left(\frac{13}{4}+\frac{3}{2}t-\frac{7}{4}t^2\right)\\&=\pi\left(\frac{25}{7}-\frac{7}{4}\left(t-\frac{3}{7}\right)^2\right).\end{aligned}$$ ここで $0\leq t\leq1$ なので頂点 $\displaystyle t=\frac{3}{7}$ は範囲内にある。よって $f(t)$ の最大値は $\displaystyle \frac{25\pi}{7}$ である。