2東北大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) 数学的帰納法 $n=6$ で $2^6=64>43=6^2+7$。$n\ge6$ で $2^n>n^2+7$ と仮定すると $$2^{n+1}>2n^2+14, \qquad 2n^2+14-((n+1)^2+7)=(n-1)^2+5>0.$$ よって $2^{n+1}>(n+1)^2+7$ である。帰納法によりすべての整数 $n\ge6$ で成り立つ。

(2) 素数の組 $p,q$ がともに奇素数なら $p^q$ は奇数、$q^p+7$ は偶数であり、等式は成立しない。よって少なくとも一方が $2$。

$p=2$ なら $2^q=q^2+7$。$q=2$ は $4\ne11$、$q=3$ は $8\ne16$、$q=5$ は $32=25+7$。素数 $q\ge7$ では (1) により $2^q>q^2+7$ なので他にない。

$q=2$ なら $p^2=2^p+7$。$p=2,3,5$ では順に $4\ne11$, $9\ne15$, $25\ne39$。素数 $p\ge7$ では (1) より $2^p>p^2+7>p^2$ なので $2^p+7>p^2$、等式は成立しない。