3東北大学 2016年 数学 第3問解答・解説

サイコロの出目の順序付き組 (a,b,c) は全部で 6^3=216 通りあり、同様に確からしい。3辺の長さを小さい順に $x\le y\le z$ と並べると、三角形となる条件は $x+y>z$ である。

(1) 直角三角形なら $z^2=x^2+y^2$ である。$1\le x\le y<z\le6$ の範囲を調べると、これを満たす組は $(x,y,z)=(3,4,5)$ だけである。3辺はすべて異なるので出目の並べ方は $3!=6$通り。したがって $$\displaystyle P(\text{直角三角形})=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}.$$

(2) 鈍角三角形となる条件は $x+y>z$ かつ $x^2+y^2<z^2$ である。$x\le y\le z\le6$ の範囲で該当する組を z ごとに調べると、 $$(2,2,3),\ (2,3,4),\ (2,4,5),\ (3,3,5),\ (2,5,6),\ (3,4,6),\ (3,5,6),\ (4,4,6).$$ このうち2辺が等しい組は (2,2,3),(3,3,5),(4,4,6) の3組で、それぞれ並べ方は 3 通り。他の5組はすべて異なるので、それぞれ 6 通りである。よって該当する順序付き組は $$3\cdot3+5\cdot6=39$$ 通りであり、 $$\displaystyle P(\text{鈍角三角形})=\frac{39}{216}=\frac{13}{72}.$$