4昭和大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) 求める余りを $R(x)$ とすると、除数 $(x^2+5)(x-2)$ は $x^2+5$ の倍数であり、$P(x)$ も $x^2+5$ で割り切れる。したがって $R(x)$ も $x^2+5$ で割り切れる。一方、余りの次数は3未満なので $R(x)=C(x^2+5)$ と書ける。$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが9だから、$R(2)=P(2)=9$ であり、$9C=9$ より $C=1$。したがって余りは $$x^2+5.$$

(2) 直角三角形の外接円半径が1なので、斜辺は直径で長さ2である。一辺1は斜辺ではなく直角をはさむ辺であり、三平方の定理から他方の辺は $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ となる。内接円半径を $r$ とする。三角形の面積を内接円の半径と半周長で表すと $$\displaystyle \frac{1\cdot\sqrt3}{2}=r\frac{1+\sqrt3+2}{2}.$$ よって $$\displaystyle r=\frac{\sqrt3}{3+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

(3-1) 分子を有理化すると $$\displaystyle \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} =\frac{(1+x)-(1-x)}{x\bigl(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.$$ したがって極限値は $2/(1+1)=1$ である。

(3-2) 半角公式を用いると $$\displaystyle \frac{1-\cos x}{x\sin x} =\frac{2\sin^2(x/2)}{2x\sin(x/2)\cos(x/2)} =\frac12\cdot\frac{\tan(x/2)}{x/2}.$$ $x\to0$ のとき $\tan(x/2)/(x/2)\to1$ だから、極限値は $1/2$ である。

(4-1) 病気の受診者は男性 $200\cdot0.4=80$ 名、女性 $800\cdot0.2=160$ 名で、計240名である。全受診者1000名から等確率に1人を選ぶので $$\displaystyle P(\text{病気})=\frac{240}{1000}=\frac6{25}.$$

(4-2) 病気の男性は80名だから $$\displaystyle P(\text{病気の男性})=\frac{80}{1000}=\frac2{25}.$$