2昭和大学 2007年 数学 第2問解答・解説

以下、問題文の関数を $f(x)=e^{2x}-2ae^x+2e^2x$ と読む。

(1) 微分すると $$f'(x)=2e^{2x}-2ae^x+2e^2.$$ $u=e^x$ とおくと $u>0$ であり、停留点は $$u^2-au+e^2=0$$ の正の根に対応する。極大値と極小値の両方をもつには、この二次方程式が異なる2つの正の根をもつことが必要十分である。根の積は $e^2>0$、根の和は $a$ なので、2根が正である条件は $a>0$ である。さらに異なる実根をもつ条件は $a^2-4e^2>0$ である。合わせて $$a>2e.$$

(2) $a>2e$ のとき、二根を $$\displaystyle u_1=\frac{a-\sqrt{a^2-4e^2}}2,\qquad u_2=\frac{a+\sqrt{a^2-4e^2}}2$$ とする。$u=e^x$ は増加するので、$u_1$ に対応する $x$ で極大、$u_2$ に対応する $x$ で極小となる。停留点では $u^2-au+e^2=0$ だから $$f(\log u)=u^2-2au+2e^2\log u=-e^2-au+2e^2\log u.$$ よって2つの極値の和は、$u_1+u_2=a$ および $u_1u_2=e^2$ を用いて $$-2e^2-a(u_1+u_2)+2e^2\log(u_1u_2) =-2e^2-a^2+2e^2\log(e^2) =-a^2+2e^2.$$

(3) 極値の和が $-7e^2$ なので $$-a^2+2e^2=-7e^2,\qquad a^2=9e^2.$$ (1)の範囲 $a>2e$ と合わせて $a=3e$ である。このとき停留点に対応する $u$ は $$\displaystyle u_1=\frac{e(3-\sqrt5)}2,\qquad u_2=\frac{e(3+\sqrt5)}2.$$ したがって極大および極小を与える $x$ は、それぞれ $$\displaystyle x_{\max}=\log u_1=1+\log\frac{3-\sqrt5}{2},\qquad x_{\min}=\log u_2=1+\log\frac{3+\sqrt5}{2}.$$