1昭和大学 2007年 数学 第1問解答・解説

(1) 二項展開で、後ろの項 $-x^{-3}$ を $k$ 個選んだ項の $x$ の指数は $$2(10-k)-3k=20-5k$$ である。これが $-5$ となるのは $k=5$ のときなので、求める係数は $$\displaystyle \binom{10}{5}(-1)^5=-252.$$

(2) $x=\pi/4$ では $\tan 2x$ が定義されない。まず $0<x<\pi/4$ では $\tan 2x>0$ だから、$\sin x=\tan 2x$ である。$\sin x>0$ を用いて両辺を整理すると $$\cos 2x=2\cos x.$$ $u=\cos x$ とおけば $2u^2-2u-1=0$ となるが、根は $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt3}{2}$ であり、$\sqrt2/2<u<1$ を満たすものはない。したがってこの区間に解はない。

次に $\pi/4<x<\pi/2$ では $\tan 2x<0$ なので $|\tan 2x|=-\tan 2x$ である。再び $\sin x>0$ を用いて整理すると $$\cos 2x=-2\cos x.$$ $u=\cos x$ とおけば $2u^2+2u-1=0$ となる。根のうち $0<u<\sqrt2/2$ を満たすのは $u=(\sqrt3-1)/2$ だけである。よって $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

(3-1) 第5項の条件から $a+4d=132$、したがって $a=132-4d$ である。等差数列の和の公式に代入すると $$S_{20}=10(2a+19d)=10(264+11d)>0$$ より $d>-24$ であり、 $$\displaystyle S_{21}=\frac{21}{2}(2a+20d)=\frac{21}{2}(264+12d)<0$$ より $d<-22$ である。したがって $$-24<d<-22.$$

(3-2) 一般項は $$a_n=a+(n-1)d=132+(n-5)d.$$ $n\le5$ なら $d<0$ より $a_n\ge132>0$ である。$6\le n\le10$ なら $1\le n-5\le5$ と $d>-24$ から $$a_n=132+(n-5)d>132-24(n-5)\ge12>0.$$ 一方、$n=11$ では $d<-22$ なので $a_{11}=132+6d<0$。ゆえに条件を初めて満たすのは $n=11$ である。

(4) $P$ の位置ベクトルを $\vec p=\lambda\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c$（$\lambda+\mu+\nu=1$）とおく。面積を $[ABC]$ などと表すと、面積の比は $$[PBC]:[PCA]:[PAB]=\lambda: \mu: \nu$$ である。与えられた比より $(\lambda,\mu,\nu)=(2,4,5)/11$ となるから、 $$\displaystyle \vec p=\frac{2\vec a+4\vec b+5\vec c}{11}.$$

(5) $\displaystyle I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(t)\cos t\,dt$ とおくと、元の式は $f(x)=4x\sin x+2I$ である。これを $I$ の定義に代入し、部分積分で積分値を計算すると $$\displaystyle I=4\int_0^{\pi/2}t\sin t\cos t\,dt+2I\int_0^{\pi/2}\cos t\,dt =4\cdot\frac{\pi}{8}+2I=\frac{\pi}{2}+2I.$$ したがって $I=-\pi/2$ であり、 $$f(x)=4x\sin x-\pi.$$ 実際、この関数では $\displaystyle \int_0^{\pi/2}f(t)\cos t\,dt=\pi/2-\pi=-\pi/2$ となり、元の式を満たす。