1聖マリアンナ医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

第1問 (1) まず $$(1-a)^2+(2-a)^2+(6-a)^2=3a^2-18a+41=3(a-3)^2+14$$ だから $$\displaystyle f(a)=(a-3)^2+\frac{14}{3}.$$ よって$f(a)$を最小にするのは$a=3$であり、これはデータ$1,2,6$の平均値である。 一方、絶対値の和を$a$の範囲ごとに整理すると $$3g(a)= \begin{cases} 9-3a &(a\le1),\\ 7-a &(1\le a\le2),\\ a+3 &(2\le a\le6),\\ 3a-9 &(a\ge6). \end{cases}$$ したがって$a$が2までは減少し、2以降は増加するので、$g(a)$を最小にするのは$a=2$である。これは3データの中央値である。従って $$\boxed{\text{ア}：\text{平均値},\qquad \text{イ}：\text{中央値}}.$$ (2) $p$が2重解、$q$が単解なので、左辺は $$(x-p)^2(x-q)=x^3-(2p+q)x^2+(p^2+2pq)x-p^2q$$ と因数分解できる。係数を$x^3+ax^2+bx-b$と比較すると $$b=p^2+2pq=p^2q.$$ $b>0$より$p\ne0$かつ$q>0$である。従って $$p^2+2pq=p^2q\quad\text{より}\quad p+2q-pq=0.$$ $p=2$なら左辺は2となって矛盾するので、$q=p/(p-2)$である。$p,q$は整数だから$p-2$は$p$を割り、したがって$p-2$は$p-(p-2)=2$を割る。よって$p-2=\pm1,\pm2$であり、候補は$p=3,1,4,0$である。 $p=3$では$q=3$となり異なる解でない。$p=1$では$q=-1$で$b=p^2q<0$。$p=0$では$b=0$。いずれも条件に反し、残るのは$p=4,q=2$だけである。実際 $$(x-4)^2(x-2)=x^3-10x^2+32x-32$$ は$b=32>0$を満たす。従って $$\boxed{\text{ウ}=4,\qquad \text{エ}=2}.$$ (3) 部分積分を用いると $$\displaystyle \int x\sec^2x\,dx=x\tan x-\int\tan x\,dx=x\tan x+\log(\cos x).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{x}{\cos^2x}\,dx &=\left[x\tan x+\log(\cos x)\right]_{\pi/4}^{\pi/3}\\ &=\left(\frac{\sqrt3}{3}-\frac14\right)\pi-\log2+\frac12\log2\\ &=\frac{4\sqrt3-3}{12}\pi-\frac12\log2. \end{aligned}$$ よって自然対数の表記で$\boxed{\text{オ}=2}$である。 (4) 任意の原点に関する$A,B,C,O$の位置ベクトルをそれぞれ$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c,\boldsymbol o$とすると、条件は $$7(\boldsymbol a-\boldsymbol o)+5(\boldsymbol b-\boldsymbol o)+3(\boldsymbol c-\boldsymbol o)=\boldsymbol0.$$ 係数の和が15なので $$\displaystyle \boldsymbol o=\frac{7\boldsymbol a+5\boldsymbol b+3\boldsymbol c}{15}.$$ 従って$O$の重心座標は$(7:5:3)$であり、$\triangle OBC$と$\triangle ABC$は共通の底辺$BC$を持つとき、$A$と$O$から$BC$への高さの比は$7:15$である。よって $$\displaystyle [OBC]=\frac7{15}[ABC]=\frac7{15}\cdot30=14.$$ 従って$\boxed{\text{カ}=14}$。