3山形大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) 左辺を変形すると $$e^x-1-xe^{x/2}=e^{x/2}\left(e^{x/2}-e^{-x/2}-x\right).$$ $e^{x/2}>0$ なので、$q(x)=e^{x/2}-e^{-x/2}-x$ の符号を調べればよい。 $$\displaystyle q(0)=0,\qquad q'(x)=\frac12\left(e^{x/2}+e^{-x/2}\right)-1\ge0,$$ ここで $e^{x/2}+e^{-x/2}\ge2$ で、等号は $x=0$ のときだけである。従って $x_1<x_2$ なら $q(x_1)<q(x_2)$ が成り立ち、$q(x)>0$ となるのは $x>0$ のときに限る。よって解は $$\boxed{x>0}.$$

(2) $x\ne0$ について $$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}-e^{x/2}=\frac{e^x-1-xe^{x/2}}{x}.$$ (1)の因子分解と符号判定から分子は $x>0$ で正、$x<0$ で負である。いずれの場合も分母 $x$ と同符号なので $$\displaystyle \boxed{\frac{e^x-1}{x}>e^{x/2}}.$$

(3) $x>0,\ x\ne1$ なので $\displaystyle t=\frac12\ln x\ne0$ とおき、$x=e^{2t}$ とする。 $$\displaystyle \frac{x^p-1}{x-1} =e^{(p-1)t}\frac{e^{pt}-e^{-pt}}{e^t-e^{-t}}.$$ $K(u)=e^u+e^{-u}$ とおくと、$K'(u)=e^u-e^{-u}>0$（$u>0$）である。さらに $$H(t)=p(e^t-e^{-t})-(e^{pt}-e^{-pt})$$ とおけば、$H(0)=0$、$H$ は奇関数であり、$t>0$ では $$H'(t)=p\{K(t)-K(pt)\}>0$$ となる（$0<pt<t$）。従って $H(t)>0$（$t>0$）、$H(t)<0$（$t<0$）。これを分母 $e^t-e^{-t}$ の符号と合わせると、両方の場合に $$\displaystyle \frac{e^{pt}-e^{-pt}}{e^t-e^{-t}}<p.$$ また $e^{(p-1)t}=x^{(p-1)/2}>0$ だから $$\displaystyle \boxed{\frac{x^p-1}{x-1}<p x^{(p-1)/2}}.$$