1山形大学 2010年 数学 第1問解答・解説

数列は、正の偶数と正の3の冪を小さい順に並べたものである。両者に共通項はない。

(1) $1000$ 以下の正の偶数は $500$ 個、$1000$ 以下の3の冪は $3,9,27,81,243,729$ の $6$ 個である。したがって $$n=500+6=506.$$

(2) $3^m$ より小さい正の偶数は $(3^m-1)/2$ 個であり、3の冪は $3,3^2,\ldots,3^m$ の $m$ 個である。よって $3^m$ の順位は $$\displaystyle n=\frac{3^m-1}{2}+m=\frac{3^m+2m-1}{2}.$$

(3) $q_m=(3^m-1)/2+m\ (m\ge1)$ とおき、区切り用に $q_0=0$ とする。各 $n\ge1$ について、$q_m\le n<q_{m+1}$ となる $m\ge0$ を選ぶ。このとき $$a_n=\begin{cases} 3^m,& n=q_m,\quad m\ge1,\\ 2(n-m),& q_m<n<q_{m+1},\quad m\ge0. \end{cases}$$ 実際、$q_m$ は $3^m$ の項番号である。隣り合う3の冪の順位の間では、3の冪が $m$ 個現れており、残りの項は偶数列 $2,4,6,\ldots$ の先頭から $n-m$ 個である。$m=0$ では $q_0=0<1<q_1=2$ なので、$a_1=2$ もこの式に含まれる。

(4) $3^m\le a_n<3^{m+1}$ なら、最初の $n$ 項には3の冪 $3,3^2,\ldots,3^m$ が $m$ 個、偶数 $2,4,\ldots,2(n-m)$ が $n-m$ 個含まれる。したがって $$\displaystyle S_n=2\sum\limits _{j=1}^{n-m}j+\sum\limits _{j=1}^{m}3^j =(n-m)(n-m+1)+\frac{3^{m+1}-3}{2}.$$

正の偶数と3の冪の個数を数えて$3^m$の順位を$q_m$とする。隣接する冪の間では残りが連続した偶数列となる。和は偶数の等差和と3の冪の等比和を加える。