12千葉大学 2012年 数学 第12問解答・解説

等差数列の和は $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m}\{a+(i-1)d\}=ma+\frac{m(m-1)}2d$$ である。$\ell,n,d$ は自然数なので、$n$ と $\ell$ の大小で分ける。

$n>\ell$ のとき $$a=(n-\ell)d,\qquad m=2\ell+1$$ とおく。$a$ は自然数、$m\ge3$ であり、 $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m}\{a+(i-1)d\} =(2\ell+1)(n-\ell)d+\frac{(2\ell+1)2\ell}{2}d =(2\ell+1)nd.$$

$n\le\ell$ のとき $$a=(\ell-n+1)d,\qquad m=2n$$ とおく。ここでも $a$ は自然数で、$m\ge2$。この場合は $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m}\{a+(i-1)d\} =2n(\ell-n+1)d+\frac{(2n)(2n-1)}2d =n(2\ell+1)d.$$ 両方の場合に必要な $a,m$ が構成でき、求める表示が成り立つ。