IVA/IVB鳥取大学 2003年 数学 第IVA/IVB問解答・解説

〔IV(A)/IV(B)〕 次の問いに答えよ。 　 〔IV(A)〕 この問題は、医学部生命科学科、医学部保健学科、工学部及び農学部出願者のためのものである。医学部医学科出願者は、この問題に答える必要はない。 　 (1) 関数 $\displaystyle y=\frac{x+1}{x-1}$ を $x$ について微分せよ。 　 (2) $\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^{2}}+\frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^{2}}$ を簡単にせよ。 　 (3) $\displaystyle \left(2\frac{1}{4}-(0.6-2.52)\right)\div\left(-\frac{3}{4}\right)^{3}$ を計算し、結果を既約分数で示せ。 　 (4) $2x^{3}-5x^{2}+5x+4$ を整数係数の範囲で因数分解せよ。 　 (5) 複素数 $1+i$ を極形式で表せ。ただし、$i^{2}=-1$ である。 　 (6) 行列 $A=\begin{pmatrix}1&-4\\-2&9\end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。 　 (7) $\displaystyle \sin\theta=\frac{2}{3}$ のとき、$\cos\theta,\ \tan\theta$ の値を求めよ。 　 (8) $\log_{4}8+\log_{9}\sqrt{27}$ の値を求めよ。 　 〔IV(B)〕 この問題は、医学部医学科出願者のためのものである。医学部生命科学科、医学部保健学科、工学部及び農学部出願者は、この問題に答える必要はない。

上図のように5角形上に内側から順に点を並べる。内側から $n$ 番目の5角形の周上および内部にある点の個数を $a_{n}$ とおく。ただし、$n=1$ の場合は1点とする。例えば、$a_{1}=1,\ a_{2}=5,\ a_{3}=12,\ a_{4}=22$ である。このとき、次の問いに答えよ。 　 (1) 数列 $a_{n}$ が満たす漸化式を求めよ。 　 (2) この数列の第 $n$ 項 $a_{n}$ を求めよ。 　 (3) $a_{n}\geq 2003$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。 　 (4) $\displaystyle a_{n}=\frac{m(3m+1)}{2}$ となるような自然数 $n,m$ は存在しないことを示せ。