5愛媛大学 2003年 数学 第5問解答・解説

5-a

(1) 条件から $$\displaystyle f(-1)=-\frac16+a-b,\qquad f(1)=\frac16+a+b.$$ したがって $$\displaystyle f(-1)+f(1)=2a,\qquad f(1)-f(-1)=\frac13+2b.$$ 前者は整数で、$0\le a<1$ より $2a$ は $0,1$ のいずれかである。後者は整数で、$0\le b<1$ より $\displaystyle \frac13+2b$ は $1,2$ のいずれかである。両者の和・差が整数であるだけでは足りず、$f(-1),f(1)$ がともに整数となるには和と差の偶奇が一致する必要がある。

- $2a=0$ の場合、差は偶数なので $\displaystyle \frac13+2b=2$。よって $\displaystyle a=0,\ b=\frac56$。 - $2a=1$ の場合、差は奇数なので $\displaystyle \frac13+2b=1$。よって $\displaystyle a=\frac12,\ b=\frac13$。

したがって $$\displaystyle (a,b)=\left(0,\frac56\right),\quad \left(\frac12,\frac13\right).$$

(2) $\displaystyle a=0,b=\frac56$ のとき $$\displaystyle f(n)=\frac{n^3+5n}{6}=\frac{n^3-n}{6}+n.$$ $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ は連続する3整数の積なので6の倍数であり、$f(n)$ は整数。

$\displaystyle a=\frac12,b=\frac13$ のとき $$\displaystyle f(n)=\frac{n^3+3n^2+2n}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.$$ これも連続する3整数の積を6で割ったものなので整数。よっていずれの組でもすべての整数 $n$ について $f(n)$ は整数である。

5-b

$x_n=1/a_n$ とおく。$a_n,p,q>0$ より逆数をとることができ、漸化式は $$\displaystyle x_1=1,\qquad x_{n+1}=\frac1p+\frac qp x_n$$ となる。特に $$\displaystyle x_2=\frac{1+q}{p},\qquad x_3=\frac1p+\frac{q(1+q)}{p^2}.$$ $x_1,x_2,x_3$ が等差数列である条件は $x_1+x_3=2x_2$ である。これを代入して整理すると $$\displaystyle 1+\frac1p+\frac{q(1+q)}{p^2}=\frac{2(1+q)}p \quad\text{と同値な式は}\quad (p-q)^2-(p-q)=0 \quad\text{、すなわち}\quad (p-q)(p-q-1)=0.$$ よって $q=p$、または $q=p-1$。ただし後者で $q>0$ となるには $p>1$ が必要である。

- $q=p$ のとき、$x_{n+1}=x_n+1/p$ だから $x_n=1+(n-1)/p$。したがって $$\displaystyle a_n=\frac{p}{p+n-1}.$$ - $q=p-1$（$p>1$）のとき、$\displaystyle x_{n+1}=\frac1p+\frac{p-1}{p}x_n$。この漸化式では $x_n=1$ なら $x_{n+1}=1$ となり、$x_1=1$ であるから、すべての $n$ で $x_n=1$、すなわち $a_n=1$。