愛媛大学 2003年数学第4問解答・解説

1問題

愛媛大学2003年度第4問

(1) 関数 $f(x)=x-\sin 2x$ の $0\leq x\leq\pi$ における最大値と最小値を求めよ。

(2) 定積分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\cos\frac{x+\pi}{4}\,dx$ を求めよ。

(3) $m$ を整数とし、 $x>1$ に対して $\displaystyle g(x)=\int_{1}^{x}t^{m}\,dt$ と定義する。

(a) $g(x)$ を求めよ。

(b) $x\to\infty$ のとき、 $g(x)$ の収束、発散について調べよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
最大値 $\displaystyle \frac{5\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}$ 、最小値 $\displaystyle \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2}$
(2)
$4\pi-8\sqrt2$
(3)(a)
$m\ne -1$ : $\displaystyle \frac{x^{m+1}-1}{m+1}$ ; $m=-1$ : $\log x$
(3)(b)
$\displaystyle m\le -2:\;\frac{1}{-m-1}$ に収束; $m\ge -1:\;+\infty$ に発散

解答を見る途中式つきの解答

原文・対象確認

PDF p.4（印刷p.7）の大問4を画像で確認した。(1)は f(x)=x−sin2x の区間[0,π]での最大・最小、(2)は ∫₀^π x cos((x+π)/4)dx、(3)は整数mと g(x)=∫₁ˣt^m dt に対し式と無限遠での収束・発散を問う。OCRと各条件・小問が一致する。

数学・範囲の点検

(1) f′=1−2cos2x。cos2x=1/2より臨界点はπ/6,5π/6で、導関数の符号は−,+,−。端点値はf(0)=0、f(π)=π。したがって最小値π/6−√3/2、最大値5π/6+√3/2。

(2) 部分積分の原始関数は4x sin((x+π)/4)+16cos((x+π)/4)。πで4π、0で8√2なので、定積分は4π−8√2。

(3)(a) m≠−1ならg=(x^(m+1)−1)/(m+1)、m=−1ならg=log x。(b) m≦−2ではx^(m+1)→0なので極限1/(−m−1)。m=−1はlog x→∞、m≧0は正の冪の項が∞へ向かう。整数mをすべて覆い、採用解説の結論と一致する。

用いたのは三角関数の微分・増減、部分積分、べき関数の積分と基本極限で、高校範囲内。

採用する解説

この問題で使う考え方