4佐賀大学 2014年 数学 第4問解答・解説

連続関数 $f$ に対し、定義式で $s=x-t$ と置換すると $$\displaystyle v(x)=\int_0^x e^t f(x-t)\,dt=e^x\int_0^x e^{-s}f(s)\,ds.$$ $\displaystyle \varphi(x)=\int_0^x e^{-s}f(s)\,ds$ とおけば、微分積分学の基本定理から $\varphi'(x)=e^{-x}f(x)$。よって積の微分により $$v'(x)=e^x\varphi(x)+e^x\varphi'(x)=v(x)+f(x),\qquad v(0)=0.\tag{1}$$

(1) $f(x)=x$ のとき $$\displaystyle \begin{aligned} v(x)&=e^x\int_0^x se^{-s}\,ds\\ &=e^x\bigl[-se^{-s}-e^{-s}\bigr]_0^x\\ &=e^x-x-1. \end{aligned}$$

(2) 条件 $v(x)+f(x)=\sin^4x$ と (1) から $v'(x)=\sin^4x$。また $v(0)=0$ なので $$\displaystyle v(x)=\int_0^x\sin^4t\,dt.$$ 半角公式より $$\displaystyle \sin^4t=\left(\frac{1-\cos2t}{2}\right)^2 =\frac{3-4\cos2t+\cos4t}{8}.$$ 従って $$\displaystyle v(x)=\frac38x-\frac14\sin2x+\frac1{32}\sin4x.$$

(3) 同じ条件から $f(x)=\sin^4x-v(x)$。まず $$\displaystyle \frac{\sin^4x}{x}=x^3\left(\frac{\sin x}{x}\right)^4\longrightarrow0\qquad(x\to0).$$ 一方、(2) の式から $$\displaystyle \frac{v(x)}x=\frac38-\frac12\frac{\sin2x}{2x}+\frac18\frac{\sin4x}{4x} \longrightarrow\frac38-\frac12+\frac18=0,$$ ここで $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}\sin u/u=1$ を用いた。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{f(x)}x=0.$$

置換積分と積の微分から $v^{\prime}=v+f$、$v(0)=0$ を導く。(1) は部分積分、(2) はこの関係と $\sin^4x$ の半角公式、(3) は $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ の標準極限を使い、それぞれの結論を得る。