2佐賀大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) $c=\cos\theta$ とおく。二倍角、三倍角の公式を使うと $$x=2\cos2\theta=4c^2-2,\qquad \cos3\theta=4c^3-3c,$$ したがって $c^2=(x+2)/4$ および $y=2\cos3\theta=2c(x-1)$ である。$0\le\theta\le\pi/2$ では $c=\sqrt{x+2}/2$、$\pi/2\le\theta\le\pi$ では $c=-\sqrt{x+2}/2$。それぞれの範囲で $x=2\cos2\theta$ は $-2\le x\le2$ の範囲を一度ずつ動くので $$y=(x-1)\sqrt{x+2}\quad(0\le\theta\le\pi/2),\qquad y=-(x-1)\sqrt{x+2}\quad(\pi/2\le\theta\le\pi).$$

(2) 二つの枝は $(-2,0)$ と $(1,0)$ で交わる。後者では傾きがそれぞれ $\sqrt3$ と $-\sqrt3$ なので自己交点である。$x=-2$ は左端、$x=2$ では端点 $(2,2),(2,-2)$ となる。原文の概形は次のとおりで、$-2\le x\le1$ が閉ループを囲む部分である。

(3) 閉ループでは上枝が $y=(1-x)\sqrt{x+2}$、下枝が $y=-(1-x)\sqrt{x+2}$ である。よって囲まれた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-2}^{1}2(1-x)\sqrt{x+2}\,dx =2\int_0^3(3-u)\sqrt u\,du\quad(u=x+2)\\ &=2\left[2u^{3/2}-\frac25u^{5/2}\right]_0^3 =\frac{24\sqrt3}{5}. \end{aligned}$$