1佐賀大学 2014年 数学 第1問解答・解説

$H,I,O,X$ の4文字は上下を逆さにしても同じ文字として読める。これらだけから作った語 $c_1c_2c_3c_4c_5$ を逆さにすると、語は $c_5c_4c_3c_2c_1$ の順に読まれる。$A,B,C,D,E,F$ を含む語は、逆さにした向きでは問題文の文字集合による5文字の順列として使えない。

(1) 逆さにして同じ語になる条件は $c_1=c_5,\ c_2=c_4$。中央の文字は自由なので $$4\cdot4\cdot4=4^3=\boxed{64\text{枚}}.$$

(2) 逆さにして使える語は全部で $4^5=1024$ 個。このうち同じ語になる64個を除くと $$4^5-4^3=1024-64=\boxed{960\text{枚}}.$$

(3) すべての語は $10^5=100000$ 個。$H,I,O,X$ 以外を少なくとも1文字含む語は $$10^5-4^5=98976$$ 個で、上下反転では他の語を表さないため、1語ずつカードが要る。反転して同じ語になる64個も、1語ずつ必要である。残る960個は、反転を2回行うと元に戻ることから、異なる語どうしの480組になる。1組の2語は、1枚のカードを上下反転して使えば表せる。従って必要枚数の最小値は $$\displaystyle 98976+64+\frac{960}{2} =\boxed{99520\text{枚}}.$$