3山口大学 2012年 数学 第3問解答・解説

放物線上の点の $y$ 座標を $g(t)$ とおくと， $$\displaystyle g(t)=\frac12t^2-t+\frac32=1+\frac12(t-1)^2$$ である。$p=(a+b)/2$，$\delta=a-b$ とおく。このとき $$\displaystyle g(a)-g(b)=\frac12(a-b)(a+b)- (a-b)=\delta(p-1).$$ したがって $AB=2$ より $$4=AB^2=(a-b)^2+\{g(a)-g(b)\}^2 =\delta^2\{1+(p-1)^2\},$$ ゆえに $$\displaystyle (a-b)^2=\frac{4}{1+(p-1)^2}.$$ また $a+b=2p$ だから， $$\displaystyle ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} =p^2-\frac{1}{1+(p-1)^2}.$$ これで (1) を得る。任意の実数 $p$ に対し $$\displaystyle a=p+\frac{1}{\sqrt{1+(p-1)^2}},\qquad b=p-\frac{1}{\sqrt{1+(p-1)^2}}$$ とすれば上の距離の式から $AB=2$ となるので，$p$ は任意の実数をとる。

中点 $P$ の $y$ 座標は $$\displaystyle \frac{g(a)+g(b)}2 =1+\frac14\{(a-1)^2+(b-1)^2\} =1+\frac12(p-1)^2+\frac18(a-b)^2 =1+\frac12(p-1)^2+\frac{1}{2\{1+(p-1)^2\}}.$$ よって $$\displaystyle f(x)=1+\frac12(x-1)^2+\frac{1}{2\{1+(x-1)^2\}}.$$ 元の放物線との差は $$\displaystyle f(x)-g(x)=\frac{1}{2\{1+(x-1)^2\}}>0.$$ したがって求める面積 $S$ は $$\displaystyle S=\int_0^2\{f(x)-g(x)\}\,dx =\frac12\int_{-1}^1\frac{du}{1+u^2} \quad (u=x-1).$$ ここで $u=\tan\theta$ とおくと，積分区間は $\displaystyle -\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$ であり， $du=(1+\tan^2\theta)\,d\theta$ だから $$\displaystyle S=\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1+\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta =\frac12\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi}{4}.$$