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山口大学／2012年度／前期

山口大学 2012年 数学 第2問解答・解説

図形と計量三角関数図形の性質

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1問題

山口大学2012年度第2問

平面上に異なる2点 AA，BB がある。AA を通る直線 l1l_{1}，l2l_{2}，l3l_{3} と BB を通る直線 m1m_{1}，m2m_{2}，m3m_{3} が図のように交わっており，直線 l1l_{1} と m1m_{1} の交点を PP，l2l_{2} と m2m_{2} の交点を QQ，l3l_{3} と m3m_{3} の交点を RR とする。ただし，l1l_{1} と l3l_{3}，l2l_{2} と l3l_{3}，m1m_{1} と m2m_{2}，m2m_{2} と m3m_{3} のなす角はすべて π3\displaystyle \frac{\pi}{3} であり，0<∠PAB<π3\displaystyle 0<\angle PAB<\frac{\pi}{3}，0<∠PBA<π3\displaystyle 0<\angle PBA<\frac{\pi}{3} である。α=∠PAB\alpha=\angle PAB，β=∠PBA\beta=\angle PBA として，次の問いに答えなさい。

点Aを通る直線l₁・l₂・l₃と、点Bを通る直線m₁・m₂・m₃が描かれ、線分ABが横方向に延びている。l₁とm₁の交点P、l₂とm₂の交点Q、l₃とm₃の交点Rが記されている。AでAPとABの間にα、BでBPとBAの間にβがあり、Aの左側とBの右側にπ/3の角が2つずつ弧で示されている。

(1) ∠APB+∠AQB\angle APB+\angle AQB を求めなさい。 　 (2) 5点 AA，QQ，RR，BB，PP が同一円周上にあることを示しなさい。 　 (3) 5点 AA，QQ，RR，BB，PP を通る円の半径が1であるとき，五角形 AQRBPAQRBP の面積を sin⁡α\sin\alpha，sin⁡β\sin\beta，sin⁡2α\sin2\alpha，sin⁡2β\sin2\beta を用いて表しなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) π\pi。(2) A,Q,R,B,PA,Q,R,B,Pは同一円周上。(3) 面積 =34(sin⁡2α+sin⁡2β)+34(3−2sin⁡2α−2sin⁡2β)\displaystyle =\frac34(\sin2\alpha+\sin2\beta)+\frac{\sqrt3}{4}(3-2\sin^2\alpha-2\sin^2\beta)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

ABAB の向きを方向角 00 とし、各半直線の方向角を図に合わせて表す。Aから出る AP,AR,AQAP,AR,AQ の方向角はそれぞれ α,α−π/3,α−2π/3\alpha,\alpha-\pi/3,\alpha-2\pi/3。Bから出る BA,BP,BQ,BRBA,BP,BQ,BR の方向角はそれぞれ π,π−β,4π/3−β,5π/3−β\pi,\pi-\beta,4\pi/3-\beta,5\pi/3-\beta である。

(1) 三角形 APBAPB から ∠APB=π−α−β\angle APB=\pi-\alpha-\beta。また QQ から A,BA,B への方向角は α+π/3\alpha+\pi/3、π/3−β\pi/3-\beta なので ∠AQB=α+β\angle AQB=\alpha+\beta。したがって ∠APB+∠AQB=π.\boxed{\angle APB+\angle AQB=\pi}.

(2) ∠APB+∠AQB=π\angle APB+\angle AQB=\pi より A,P,B,QA,P,B,Q は同一円周上にある。さらに、RR から A,BA,B への方向角はそれぞれ α+2π/3\alpha+2\pi/3、2π/3−β2\pi/3-\beta なので ∠ARB=α+β=∠AQB\angle ARB=\alpha+\beta=\angle AQB。図のように Q,RQ,R はともに直線 ABAB の同じ側にあり、同じ弦 ABAB を見込む角が等しいから、RR もこの円周上にある。ゆえに5点 A,Q,R,B,PA,Q,R,B,P は同一円周上。

(3) 五角形の頂点順は A,Q,R,B,PA,Q,R,B,P。その外接円の半径が1なので、円周角の定理から隣り合う頂点間の中心角は順に 2π3−2β,2π3,2π3−2α,2α,2β.\displaystyle \frac{2\pi}{3}-2\beta,\quad \frac{2\pi}{3},\quad \frac{2\pi}{3}-2\alpha,\quad 2\alpha,\quad 2\beta. 0<α,β<π/30<\alpha,\beta<\pi/3 よりこれらの中心角はすべて 00 と π\pi の間にあり、和は 2π2\pi である。したがって円の中心は凸五角形の内部にあり、中心と各辺で五角形を5つの三角形に分けられる。半径が1なので S=12{sin⁡ ⁣(2π3−2β)+sin⁡2π3+sin⁡ ⁣(2π3−2α)+sin⁡2α+sin⁡2β}.\displaystyle S=\frac12\left\{\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}-2\beta\right)+\sin\frac{2\pi}{3}+\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}-2\alpha\right)+\sin2\alpha+\sin2\beta\right\}. 加法定理と cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos2x=1-2\sin^2x を用いて整理すると S=34(sin⁡2α+sin⁡2β)+34(3−2sin⁡2α−2sin⁡2β).\displaystyle \boxed{S=\frac34(\sin2\alpha+\sin2\beta)+\frac{\sqrt3}{4}(3-2\sin^2\alpha-2\sin^2\beta)}.

この問題で使う考え方

  • 図の方向角を整理
  • 円周角による共円判定
  • 単位円の扇形でなく中心三角形の面積和
  • 倍角公式による整理

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