1山口大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 因数分解すると $$f(x)=-x^2+15x-36=-(x-3)(x-12).$$ 下に開く二次関数なので、2つの根の間で正となる。従って $$\boxed{3<x<12}.$$ これは同時に $g$ の定義域である。

(2) 平方完成して $$\displaystyle f(x)=-\left(x-\frac{15}{2}\right)^2+\frac{81}{4}.$$ 頂点 $x=15/2$ は定義域内にあり、$f$ の最大値は $81/4$。底が1より大きい対数関数は増加するので、$g$ もこの点で最大となる。 $$\displaystyle \max g(x)=\log_2\frac{81}{4}=\log_2\frac{3^4}{2^2} =4\log_2 3-2=4(1.585)-2=\boxed{4.34}.$$

(3) (1)より、実数 $t$ について $f(t)>0$ は $3<t<12$ と同値。よって $f(g(x))>0$ は $3<x<12$ かつ $3<g(x)<12$ を意味する。$g(x)\le\log_2(81/4)<12$ だから上側は常に成り立つ。下側は対数の単調性により $$g(x)>3\quad\text{すなわち}\quad \log_2 f(x)>3\quad\text{すなわち}\quad f(x)>8.$$ したがって $$-x^2+15x-36>8 \quad\text{すなわち}\quad x^2-15x+44<0 \quad\text{すなわち}\quad (x-4)(x-11)<0,$$ ゆえに $4<x<11$。これは $g$ の定義域 $3<x<12$ に含まれるので、最終範囲は $$\boxed{4<x<11}.$$

編集ラベル

- 単元: 二次関数、対数関数、二次不等式 - 方法: 因数分解と符号判定、平方完成、対数関数の単調性、合成関数の定義域・値域条件 - テーマ: 対数化された二次関数の最大値、関数合成が正となる範囲

検算

(3)で得た $4<x<11$ は(1)の定義域 $3<x<12$ に含まれる。両端では $g(x)=3$ となり $f(g(x))=0$ なので、厳密不等式により端点は除く。$g$ の上限は厳密に $\log_2(81/4)<12$ であり、上側の条件に例外はない。