山口大学 2012年数学第4問解答・解説

1問題

山口大学2012年度第4問

$xy$ 平面において，直線 $y=8$ の上に点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $P_{5}$ が，直線 $y=0$ の上に点 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ ， $Q_{4}$ ， $Q_{5}$ が，それぞれ $x$ 座標の小さい順に並んでいる。これらを $y=8$ 上の点と $y=0$ 上の点ひとつずつからなる5つの組に分け，それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える。下図はその一例である。

原点Oから右向きにx軸、上向きにy軸が矢印付きで描かれ、上の水平線にy＝8と記されている。上の水平線上に左からP₁、P₂、P₃、P₄、P₅、x軸上に左からQ₁、Q₂、Q₃、Q₄、Q₅の黒点が並ぶ。P₁Q₄、P₂Q₂、P₃Q₅、P₄Q₁、P₅Q₃の5本の線分が引かれている。

このとき，次の問いに答えなさい。　 (1) 3本の線分 $P_{i}Q_{n}$ ， $P_{j}Q_{m}$ ， $P_{k}Q_{l}$ が1点 $R$ で交わるとき， $\displaystyle \frac{P_{i}P_{j}\cdot Q_{l}Q_{m}}{P_{j}P_{k}\cdot Q_{m}Q_{n}}$ を求めなさい。ただし， $i<j<k$ かつ $l<m<n$ であるとする。　 (2) $P_{i}$ ， $Q_{i}\;(1\leq i\leq 5)$ の $x$ 座標を $2^{i}$ とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい。　 (3) $P_{i}$ ， $Q_{i}\;(1\leq i\leq 5)$ の $x$ 座標を $2^{i}$ とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 各点の $x$ 座標を $p_i,q_i$ とし、 $R$ の $y$ 座標を $8t$ とおく。 $0<t<1$ であり、内分の式より $(1-t)q_n+tp_i=(1-t)q_m+tp_j=(1-t)q_l+tp_k.$ 従って $t(p_j-p_i)=(1-t)(q_n-q_m)$ 、 $t(p_k-p_j)=(1-t)(q_m-q_l)$ なので、求める積比は $1$ 。 (2) 3線分が1点で交わると仮定する。同じ高さの交点を共有すれば上側の $x$ 座標が増えるほど下側は減るので、添字は(1)の順にとれる。その結果 $(2^j-2^i)(2^m-2^l)=(2^k-2^j)(2^n-2^m)$ となる。左辺は $2^{i+l}$ と奇数の積、右辺は $2^{j+m}$ と奇数の積である。 $i+l<j+m$ だから、左辺は $2^{i+l+1}$ で割れないが右辺は割れ、矛盾する。 (3) $P_i$ と $Q_{\pi(i)}$ を結ぶ。 $i<j$ の2線分が交わるのは $\pi(i)>\pi(j)$ の場合だけである。このような逆順の組の数を転倒数と呼ぶ。(2)から三重点がないので交点数と転倒数は等しい。 5の右側にある数字を $r$ 個とすると、5を除いた4数字の転倒数は $2-r$ 。 $r=0,1,2$ の場合を数える。4数字で転倒数2の順列は $2314,\ 3124,\ 1342,\ 1423,\ 2143$ の5個、転倒数1は $1243,1324,2134$ の3個、転倒数0は $1234$ のみ。5を指定位置に戻す方法は各1通りなので、合計 $5+3+1=9$ 通り。

この問題で使う考え方

相似
偶奇
順列の転倒数

1問題

2解答

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