1高知大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $u=x+1, v=y-2$ とすると $|u|<1/2, |v|<1/3$ で、展開により $$-8x^3+12xy+3y^2+4=-8u^3+24u^2+12uv+3v^2.$$ 従って三角不等式から $$\displaystyle |-8x^3+12xy+3y^2+4|<8\cdot\frac18+24\cdot\frac14+12\cdot\frac16+3\cdot\frac19=\frac{28}{3}<10.$$ (2)(i) $\displaystyle P_n=\binom{12}{n}(1/6)^n(5/6)^{12-n}$ とおくと $P_{n+1}/P_n=(12-n)/(5(n+1))$。これは1より大きいのが整数 $n=0,1$ のとき、1より小さいのが $n\ge2$ のときだから、唯一の最大は $n=2$。

(2)(ii) 二整数根を $\alpha,\beta$ とする。解と係数から $p=a(\alpha+\beta), q=a\alpha\beta$。$p,q,a>0$ より根の積と和は正で、根はともに正。$q$ は素数で $a,\alpha,\beta$ は正整数なので $\{a,\alpha,\beta\}=\{1,1,q\}$。$a=q,\alpha=\beta=1$ では $p=2q$ は素数でない。$a=1,\{\alpha,\beta\}=\{1,q\}$ なら $p=q+1$。この値が素数となるには偶数素数 $q=2$ の場合に限り、$p=3$。ゆえに $(a,p,q)=(1,3,2)$。

(2)(iii) $B$ を原点、$\overrightarrow{BC}=\vec u,\overrightarrow{BA}=\vec v$ とおき、$BX=x\,BC, BY=y\,BC$ とする。順序より $0<x<y<1$。$X$ を通るAB平行線とYを通るAC平行線の交点は $P=x\vec u+(y-x)\vec v$。直線AP上の点の $\vec v$ 係数を0にすると、BCとの交点は $Z=z\vec u$、$z=x/(1-y+x)$。このとき $$\displaystyle z-x=\frac{x(y-x)}{1-y+x},\qquad y-z=\frac{(1-y)(y-x)}{1-y+x},$$ なので $YZ/XZ=(y-z)/(z-x)=(1-y)/x=CY/BX$。

Q1(1)は$u=x+1,v=y-2$に移して絶対値を$\displaystyle \frac{28}{3}$未満と評価。Q1(2)(i)二項分布の比から最頻値$n=2$。(ii)素数積分解から唯一$(a,p,q)=(1,3,2)$。(iii)座標比で$\displaystyle \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}}$。