3高知大学 2015年 数学 第3問解答・解説

$a_1=0$ とし、条件の漸化式に従う。

(1) $c=5$ のとき、$a_1=0$ から $a_2=5$、また $a_n=5$ なら次の項は $0$ になる。従って $$\boxed{a_n=\begin{cases}0&(n\text{ が奇数}),\\5&(n\text{ が偶数}).\end{cases}}$$

(2) $c=10$ のとき $a_2=10$。$a_n\ge10$ なら $$a_{n+1}=2a_n-9\ge11,$$ なので $a_n\ge10$ はすべての $n\ge2$ で成り立つ。$b_n=a_n-9$ とおけば $b_2=1$ かつ $b_{n+1}=2b_n$ であるから $$\boxed{a_1=0,\qquad a_n=9+2^{n-2}\quad(n\ge2).}$$

(3) $a_1=0<10$ である。$a_n<10$ と仮定すると、$a_n<5$ の場合は $$a_{n+1}=a_n+c<5+c<10,$$ また $5\le a_n<10$ の場合は $$a_{n+1}=a_n-5<5<10.$$ 仮定のもとでは第三枝は起こらないので、帰納法により $$\boxed{a_n<10\quad(n=1,2,3,\ldots).}$$

(4) $c=16/3$ とする。帰納法で $$\displaystyle a_{2m+1}=\frac m3\quad(0\le m\le14),\qquad a_{2m+2}=\frac{m+16}{3}\quad(0\le m\le13)$$ を得る。実際、$a_{2m+1}=m/3<5$ なら $a_{2m+2}=(m+16)/3$ であり、$m\le13$ では $a_{2m+2}\le29/3<10$ だから $a_{2m+3}=(m+1)/3$。これで次の $m$ へ進む。また $a_{29}=14/3<5$ より $a_{30}=10$。従って $n<30$ の項はすべて $10$ 未満である。

$n\ge30$ では第三枝が続く。実際、$a_n\ge10$ なら $a_{n+1}=2a_n-13/3\ge47/3>10$ である。$b_n=a_n-13/3$ とおくと $b_{30}=17/3$、$b_{n+1}=2b_n$ なので $$\displaystyle a_n=\frac{13}{3}+\frac{17}{3}\,2^{n-30}\quad(n\ge30).$$ よって $$\displaystyle a_{37}=\frac{2189}{3}<1000,\qquad a_{38}=\frac{4365}{3}=1455>1000.$$ $n\ge30$ で数列は増加するから、求める最小の値は $$\boxed{n=38}.$$

(1)(2)は条件に対応する枝を追って一般項を求める。(3)は仮定 $a_n<10$ のもとで第三枝が発生しないことを確認して帰納法を適用する。(4)は第三枝に入る最初の項までを二項周期で調べ、その後の一次漸化式を解いて最小性を比較する。