1浜松医科大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=1$ を漸化式に代入すると $$\displaystyle 3\cdot\frac13-4a_2+2\cdot\frac13a_2=0,$$ よって $\displaystyle 1-\frac{10}{3}a_2=0$ から $\displaystyle a_2=\frac3{10}$。

(2) もし $a_m=0$ となる自然数 $m$ があれば、$m=1$ は初項に反する。$m\ge2$ のとき、漸化式を $n=m-1$ に適用すると $m+1$ 倍の $a_{m-1}$ が0になり、$a_{m-1}=0$。同じ議論を繰り返すと $a_1=0$ となって初項に矛盾する。従ってすべての $n$ で $a_n\ne0$。

(3) $b_n=1/a_n$ とおける。(2)より漸化式を $a_na_{n+1}$ で割ると $$(n+2)b_{n+1}=2(n+1)b_n-(n+1),\qquad b_1=3.$$ $$\displaystyle b_n=\frac{3\cdot2^{n-1}+n+2}{n+1}$$ を予想する。$n=1$ では成り立ち、これが成り立つとき $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{2(3\cdot2^{n-1}+n+2)-(n+1)}{n+2} =\frac{3\cdot2^n+n+3}{n+2},$$ となり、同じ式の $n+1$ 版に一致する。従って帰納法で成り立ち、 $$\displaystyle a_n=\frac{n+1}{3\cdot2^{n-1}+n+2}.$$

(4) 分母が $3\cdot2^{k-1}$ より大きいので $$\displaystyle 0<a_k<\frac{k+1}{3\cdot2^{k-1}}.$$ 有限和の公式 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k-1}}=6-\frac{n+3}{2^{n-1}}$$ は帰納法で確かめられる。したがって $$\displaystyle S_n<\frac13\sum\limits _{k=1}^n\frac{k+1}{2^{k-1}} =2-\frac{n+3}{3\cdot2^{n-1}}<2.$$

(1) 初項と漸化式から $a_2=3/10$。 (2) 漸化式を後ろ向きに使えば、どこかで $a_m=0$ となることは初項と矛盾する。 (3) $b_n=1/a_n$ と置くと一次漸化式となり、$b_n=(3\cdot2^{n-1}+n+2)/(n+1)$ が成り立つ。 (4) 一般項を $(k+1)/(3\cdot2^{k-1})$ で上から押さえ、有限和公式を用いると $S_n<2-(n+3)/(3\cdot2^{n-1})<2$。