4浜松医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

対数を取ると $$\displaystyle \log\alpha_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\log\frac{3+k/n}{1+k/n} \longrightarrow\int_0^1\log\frac{3+x}{1+x}\,dx=6\log2-3\log3, \qquad \alpha=\frac{64}{27}.$$ 同様に $$\displaystyle \log\beta_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\log\frac{3+(k/n)^2}{1+(k/n)^2} \longrightarrow\int_0^1\log\frac{3+x^2}{1+x^2}\,dx =\log2+\pi\left(\frac1{\sqrt3}-\frac12\right),$$ よって $$\displaystyle \beta=2\exp\left(\pi\left(\frac1{\sqrt3}-\frac12\right)\right).$$ $\displaystyle F(t)=\log\frac{3+t}{1+t}$ とおくと $\displaystyle F'(t)=-\frac{2}{(3+t)(1+t)}<0$。$0<x<1$ では $x^2<x$ なので $F(x^2)>F(x)$。積分して $\log\beta>\log\alpha$、すなわち $\alpha<\beta$。

$\alpha_n,\beta_n$の対数をとると、それぞれ連続関数 $\displaystyle \log\left(\frac{3+x}{1+x}\right)$、$\displaystyle \log\left(\frac{3+x^2}{1+x^2}\right)$のリーマン和になる。したがって極限の対数は積分値で与えられる。第一の積分は原始関数を評価して $6\log2-3\log3$、ゆえに $\displaystyle \alpha=\frac{64}{27}$。第二は $\displaystyle \int\log(x^2+a^2)\,dx=x\log(x^2+a^2)-2x+2a\arctan(x/a)$を $a=\sqrt3,1$に適用し、$\displaystyle \log2+\pi\left(\frac1{\sqrt3}-\frac12\right)$を得る。よって $\displaystyle \beta=2\exp\left(\pi\left(\frac1{\sqrt3}-\frac12\right)\right)$。比較には $\displaystyle F(t)=\log\frac{3+t}{1+t}$を用いる。$\displaystyle F'(t)=-\frac{2}{(3+t)(1+t)}<0$で、$0<x<1$なら$x^2<x$だから$F(x^2)>F(x)$。積分して$\log\beta>\log\alpha$、従って$\alpha<\beta$。