4日本大学 2015年 数学 第4問解答・解説

日本大学 2015年度 数学 Q4

関数を $$y=x+\sqrt{4-(x-1)^2}\qquad(0\le x\le3)$$ とする。根号の中は $-1\le x\le3$ で非負であり、指定された定義域では常に定義される。

(1) 増減表とグラフの概形

$0\le x<3$ で微分すると $$\displaystyle y'=1-\frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}}.$$ $x<1$ では分子 $x-1<0$ より $y'>0$。$x\ge1$ では両辺を比較して $$y'>0 \quad\text{すなわち}\quad \sqrt{4-(x-1)^2}>x-1 \quad\text{すなわち}\quad x-1<\sqrt2.$$ 従って $x=1+\sqrt2$ で唯一の極大値をとる。$1+\sqrt2<3$ なので臨界点は定義域内にある。各点での関数値は $$y(0)=\sqrt3,\qquad y(1+\sqrt2)=1+2\sqrt2,\qquad y(3)=3.$$ また $x\to3-$ で $y'\to-\infty$ であり、右端では急に下降して $(3,3)$ に達する。増減表は $$\begin{array}{c|ccccc} x&0&0<x<1+\sqrt2&1+\sqrt2&1+\sqrt2<x<3&3\\ \hline y'&&+&0&-&\text{定義されない}\\ \hline y&\sqrt3&\nearrow&1+2\sqrt2&\searrow&3 \end{array}$$ となる。したがってグラフは $(0,\sqrt3)$ から右上がりで $(1+\sqrt2,1+2\sqrt2)$ に達し、その後右下がりで $(3,3)$ に至る。常に $y>0$ である。

(2) 囲まれた図形の面積

曲線は $x$ 軸より上にあるから、求める面積は $$\displaystyle \begin{aligned} A&=\int_0^3\left(x+\sqrt{4-(x-1)^2}\right)\,dx\\ &=\frac92+\int_{-1}^2\sqrt{4-u^2}\,du \qquad(u=x-1). \end{aligned}$$ 後半の積分で $u=2\sin t$ と置く。積分区間は $-\pi/6\le t\le\pi/2$ で、$\cos t\ge0$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^2\sqrt{4-u^2}\,du &=4\int_{-\pi/6}^{\pi/2}\cos^2t\,dt\\ &=\left[2t+\sin2t\right]_{-\pi/6}^{\pi/2} =\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \boxed{A=\frac92+\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2} =\frac{9+\sqrt3}{2}+\frac{4\pi}{3}}.$$

**使用解法:** 導関数の符号と端点値による増減表・概形、置換積分 $u=x-1,\ u=2\sin t$。

**issues:** なし。